Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài (Miễn phí)

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đàng tròn

Vẽ được những nhân tố nhằm chứng tỏ phần (1).

Ta với $\hat{M B O} = 90^{0}, \hat{M A O} = 90^{0}$ (theo t/c của tiếp tuyến và phân phối kính)

Suy ra: $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 180^{0}$ .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đàng tròn trĩnh.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta với $A E / / M O \Rightarrow \hat{A E M} = \hat{E M N} mà \hat{A E M} = \hat{M A F} \Rightarrow \hat{E M N} = \hat{M A F}$

$Δ N M F v à Δ N A M$ có: $\hat{M N A}$ chung; $\hat{E M N} = \hat{M A F}$

nên $Δ N M F$ đồng dạng với $Δ N A M$

$\Rightarrow \frac{N M}{N F} = \frac{N A}{N M} \Rightarrow N M^{2} = N F . N A (1)$

Mặt không giống có: $\hat{A B F} = \hat{A E F} \Rightarrow \hat{A B F} = \hat{E M N} h a y \hat{H B F} = \hat{F M H}$

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \hat{F H M} = \hat{F B M} = \hat{F A B} h a y \hat{F H N} = \hat{N A H}$

Xét $Δ N H F & Δ N A H c ó \hat{A N H} c h u n g; \hat{N H F} = \hat{N A H}$

=> $Δ N M F$ đồng dạng $Δ N A H \Rightarrow \Rightarrow \frac{N H}{N F} = \frac{N A}{N H} \Rightarrow N H^{2} = N F . N A (2)$

Từ (1) và (2) tớ với NH = HM

3) Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{EF}{M F} = 1$ .

Xét $Δ M AF$ và $Δ M E A$ có: $\hat{A M E}$ chung, $\hat{M A F} = \hat{M E A}$

suy ra $Δ M AF$ đồng dạng với $Δ M E A$

$\Rightarrow \frac{M E}{M A} = \frac{M A}{M F} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow \frac{M E}{M F} = \frac{A E^{2}}{A F^{2}}$ (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \hat{M F B} = \hat{M H B} = 90^{0} \Rightarrow \hat{B F E} = 90^{0}$ và $\hat{A F H} = \hat{A H N} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A F E} = \hat{B F H}$

$Δ A E F$ và $Δ H B F$ có: $\hat{E F A} = \hat{B F H}; \hat{F E A} = \hat{F B A}$

suy ra $Δ A E F$ $~$ $Δ H B F$

$\Rightarrow \frac{A E}{A F} = \frac{H B}{H F} \Rightarrow \frac{A E^{2}}{A F^{2}} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}}$ (4)

Từ (3) và (4) tớ với $\frac{M E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{M F + F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow 1 + \frac{F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{F E}{M F} = 1$