Bài viết lách này Vted reviews cho tới độc giả cách thức Tính đạo hàm và vi phân cung cấp cao của hàm số
Xem tăng những bài bác viết:
>>Khai triển Taylor và ứng dụng
>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế
Một số công thức đạo hàm cung cấp cao của hàm số thông thường gặp
$\begin{array}{l} nó = \sin (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\sin \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \cos (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \dfrac{1}{{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ nó = {e^{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}.\\ nó = {(ax + b)^\alpha } \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1){(ax + b)^{\alpha - n}} \end{array}$
Công thức Lepnit tính đạo hàm cung cấp cao của hàm số tích
Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ đem đạo hàm cho tới cung cấp $n$ khi bại ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n)}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$
Chứng minh. Ta sử dụng cách thức quy nạp:
Với $n=1\Rightarrow (uv{)}'=u{v}'+{u}'v=C_{1}^{0}u{v}'+C_{1}^{1}{u}'v$ công thức chính.
Giả sử công thức chính cho tới $n-1$ tức ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n-1)}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-1-k)}}(x)}.$
Khi đó:
\[\begin{gathered} {\left[ {u(x).v(x)} \right]^{(n)}} = {\left( {{{\left[ {u(x).v(x)} \right]}^{(n - 1)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} } \right)^\prime } \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k} \left( {{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x) + {u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \right) \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^{(k + 1) - 1}{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - (k + 1))}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{n - 1}^{k - 1}{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_{n - 1}^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_{n - 1}^{n - 1}{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right){u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_n^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_n^n{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} . \\ \end{gathered} \]
Ta đem điều nên chứng tỏ.
Xem tăng những bài bác viết:
>>Khai triển Taylor và ứng dụng
>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế
Các ví dụ minh hoạ
Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 - k)}}} .\\ = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. \end{array}$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$
Giải. Ta có
$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }} = \dfrac{{2 - (1 - x)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 2{(1 - x)^{ - \dfrac{1}{2}}} - {(1 - x)^{\dfrac{1}{2}}}.\\ {f^{(100)}}(x) = 2\left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left( { - \dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{ - \dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ - \left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{\dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ = \dfrac{{3.5...199}}{{{2^{99}}}}{(1 - x)^{ - \dfrac{{201}}{2}}} + \dfrac{{3.5....197}}{{{2^{100}}}}{(1 - x)^{\dfrac{{197}}{2}}}. \end{array}$
Do bại ${{f}^{(100)}}(0)=\dfrac{3.5...197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399\dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ nhập bại $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$
Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}\cos x.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(\cos x)}^{(100 - k)}}} \\ = {x^2}\cos \left( {x + \dfrac{{100\pi }}{2}} \right) + 100.2x.\cos \left( {x + \dfrac{{99\pi }}{2}} \right) + 4950.2.\cos \left( {x + \dfrac{{98\pi }}{2}} \right)\\ = {x^2}\cos x + 200x\sin x - 9900\cos x. \end{array}$
Câu 4. Tính đạo hàm cung cấp cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=\ln (2{{x}^{2}}-x).$
Giải. Ta có: ${y}'=\dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=\dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\left( \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x}.$
Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{\left( \dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x} \right)}^{(4)}}=2\dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24\left( \dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}} \right).$
Câu 5. Tính đạo hàm cung cấp cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} - \dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}}} \right).\\ {f^{(100)}}(x) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right)\\ {f^{(100)}}(0) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}( - \sqrt 3 i) = - 100! \end{array}$
Bước cuối độc giả thay cho dạng lượng giác số phức nhập nhằm rút gọn gàng.
Cách 2:Ta đem $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cung cấp n nhị vế có:
$\begin{array}{l} ({x^2} - x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x - 1){y^{(n - 1)}}(x) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(x) = 0\\ {y^{(n)}}(0) - n{y^{(n - 1)}}(0) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(0) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} - \dfrac{{{y^{(n - 1)}}(0)}}{{(n - 1)!}} + \dfrac{{{y^{(n - 2)}}(0)}}{{(n - 2)!}} = 0\\ {u_n} = \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} \Rightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} = 0.... \end{array}$
Câu 6. Tính đạo hàm cung cấp cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=\arcsin x.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Rightarrow (1 - {x^2})y' = \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Rightarrow - 2xy' + (1 - {x^2})y'' = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = - xy'\\ \Leftrightarrow (1 - {x^2})y'' - xy' = 0. \end{array}$
Do bại ${{\left( (1-{{x}^{2}}){y}''-x{y}' \right)}^{(n)}}=0$ và
$\begin{array}{l} (1 - {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) - n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) - n(n - 1){y^{(n)}}(x) - x{y^{(n + 1)}}(x) - n{y^{(n)}}(x) = 0.\\ \Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) \Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = ... = {(97.95...3.1)^2}y'(0) = {(97!!)^2}. \end{array}$
Câu 7. Tính đạo hàm cung cấp 100 của hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}.$
Giải. Có \[f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{x\sqrt[3]{1-5x}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{1-5x}}={{x}^{2}}{{\left( 1-5x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}}.\]
Vì vậy vận dụng công thức Lepnit có
\[\begin{gathered} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{(k)}}{{\left( {{{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)}^{(100 - k)}}} = C_{100}^0{x^2}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}{{( - 5)}^{100}}} \right) \\ + C_{100}^12x\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 99}}{{( - 5)}^{99}}} \right) \\ + C_{100}^22\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 98}}{{( - 5)}^{98}}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right)} \right){\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}} \\ \times \left( {{{( - 5)}^2}\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){x^2} + {{( - 5)}^1}2C_{100}^1\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)(1 - 5x)x + 2C_{100}^2{{(1 - 5x)}^2}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\prod\limits_{k = 0}^{97} {\left( { - \dfrac{1}{3} - k} \right)} {\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}\left( {\dfrac{{250}}{9}{x^2} - \dfrac{{2000}}{3}x + 9900} \right). \\ \end{gathered} \]
Câu 8. Tính đạo hàm cung cấp cao ${{y}^{(10)}}(0)$ cuả hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}.$
Giải. Có ${y}'=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-2xy\Leftrightarrow {y}'+2xy=0\Rightarrow {{\left( {y}'+2xy \right)}^{(n)}}=0.$
Khai triển công thức Lepnit có: ${{y}^{(n+1)}}+2x{{y}^{(n)}}+C_{n}^{1}2{{y}^{(n-1)}}=0\Rightarrow {{y}^{(n+1)}}(0)=-2n{{y}^{(n-1)}}(0).$
Do bại ${{y}^{(10)}}(0)=-18{{y}^{(8)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right){{y}^{(6)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right)...\left( -2 \right){{y}^{(0)}}(0)=-30240.$
Hiện bên trên Vted.vn xây cất 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ những trường:
- Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
- Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH
Khoá học tập hỗ trợ khá đầy đủ kiến thức và kỹ năng và cách thức giải bài bác tập dượt những dạng toán đi kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài bác tập dượt tập luyện dạng Tự luận đem câu nói. giải cụ thể bên trên trang web sẽ hỗ trợ học tập viên học tập thời gian nhanh và áp dụng chắc chắn là kiến thức và kỹ năng. Mục chi tiêu của khoá học tập hùn học tập viên đạt điểm A ganh đua cuối kì những học tập phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong số ngôi trường tài chính.
Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây hoàn toàn có thể học tập được full bộ này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và những ngôi trường ĐH, ngành tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn nước...